«Математика – не пропуск в профессию, а высота потолка внутри нее»: какие знания нужны для карьеры в IT

Математика нужна не только программистам и ученым. Она помогает анализировать данные, проверять выводы нейросетей и принимать решения в условиях неопределенности. Youth.kz поговорил с исследователем в области количественных методов, инженером машинного обучения и специалистом по данным Натаниэлем Бродецким о том, какие математические знания пригодятся для карьеры, как восполнить пробелы в школьной базе и почему ошибки – часть обучения.

– Что изучение математики дает человеку за пределами школы и университета? Какие навыки действительно остаются на будущее?

– Формулы забываются, как строительные леса после стройки. Через десять лет вы не вспомните формулу корней кубического уравнения. Не расстраивайтесь: ее не помнит и половина преподавателей. Леса снимают, а дом остается. Этот дом – архитектура мышления.

В ней три несущие стены.

Видеть скелет под одеждой. Любая проблема приходит одетой: в эмоции, чужие мнения, сотню мелочей. Математик раздевает задачу до костей и спрашивает, от чего результат зависит на самом деле. В науке это называют поиском инвариантов. В жизни это звучит проще: «Так, стоп. А что здесь на самом деле важно?»

Инсайд из мира квантов. На рынке каждую секунду шумят тысячи новостей, постов и прогнозов аналитиков. Хорошая модель почти всё это выбрасывает. Не потому что новости не важны, а потому что большинство из них уже учтено в цене. Умение спокойно не реагировать на шум – редкий и очень дорогой навык.

Модель, которая жадно глотает все данные подряд, напоминает кадавра профессора Выбегалло из «Понедельник начинается в субботу». Тот был запрограммирован на неограниченное потребление и в итоге лопнул. Стругацкие, сами того не зная, описали переобучение за полвека до нейросетей.

Не верить себе на слово. В математике «мне кажется» – не аргумент. Одно исключение рушит красивую теорию, как один треснувший камень рушит арку. Отсюда привычка спрашивать: при каких условиях мое решение перестанет работать? В финансах этот вопрос задают каждый день, потому что рынок – лучший в мире генератор контрпримеров.

Держать в голове невидимое. Бесконечность или двенадцатимерное пространство нельзя потрогать, но с ними можно работать. Физики шутят: чтобы представить одиннадцатимерное пространство, представьте n-мерное и подставьте n = 11. Шутка, но в ней правда. Абстракция – это не картинка в голове, а набор правил, которым научился доверять.

Честная оговорка. Мышца, накачанная в зале, не делает человека хорошим грузчиком автоматически. Строгость сама собой на жизнь не переносится. Профессор может безупречно доказывать теоремы и купить третью мультиварку по акции «две по цене трех». Мост от формул к жизни приходится строить сознательно.

За что платит рынок? Не за высоту абстракции: чистые теоретики часто зарабатывают скромно. Рынок платит за фонарь в темноте, то есть за умение считать там, где другие гадают. Еще один инсайд: самый ценный человек в команде часто не тот, кто знает больше всех теорем, а тот, кто первым говорит: «Подождите, здесь что-то не сходится».

Для равновесия – обратный пример. Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре и отказался и от Филдсовской медали, и от миллиона долларов от Института Клэя. Математики шутят, что заодно он доказал еще одну теорему: деньги не являются инвариантом счастья. Обратное утверждение пока никто доказать не смог, хотя попыток было много.

Математика не отвечает на вопросы жизни. Она учит отличать ответ от ощущения ответа.

–  Насколько математика важна для карьеры в IT? Что из школьной и университетской математики пригодится программисту, аналитику, специалисту по ИИ?

– IT похож на большой город. Чтобы поставить забор, хватит уровня и рулетки. Чтобы построить мост, нужен сопромат. Сколько математики нужно, зависит от того, что именно вы строите.

Классическая разработка – веб, мобильные приложения, бэкенд. Интегралами здесь никто мучить не будет. Нужно чувствовать, как растет цена работы программы с ростом данных. Представьте вечеринку, где каждый новый гость обязан пожать руку всем, кто уже пришел. На десяти гостях это мило. На десяти тысячах это пятьдесят миллионов рукопожатий и визит полиции. Это чутье дает O-нотация. Плюс структуры данных и уверенная логика: «и», «или», «не», битовые маски.

Аналитика данных. Статистика здесь работает как очки. Древние смотрели на случайно разбросанные звезды и видели в них медведей и охотников. Аналитик без статистики делает то же самое с графиками продаж. Классический пример: исследователь Дэвид Лейнвебер показал, что индекс S&P 500 годами почти идеально «объяснялся» производством сливочного масла в Бангладеш. Совпадение было впечатляющим и абсолютно бессмысленным. В индустрии про это говорят: если долго пытать данные, они признаются в чем угодно.

Кстати, действие «Служебного романа» разворачивается в статистическом учреждении. За весь фильм там не проверили ни одной гипотезы. Зато Людмила Прокофьевна с помощью секретарши Верочки провела, по сути, образцовый A/B-тест собственного образа: строгий костюм против новой прически и походки. Конверсия выросла драматически, выборка, правда, была маленькая – один Новосельцев.

Что нужно: доверительные интервалы, проверка гипотез – A/B-тесты, критерии Стьюдента и Манна-Уитни, понимание смещенной выборки и байесовское мышление.

Машинное обучение и ИИ. Здесь математика не инструмент, а сам материал. Нейросеть – огромная функция с миллиардами ручек настройки. Обучение похоже на спуск с горы в густом тумане: долину не видно, но уклон под ногами чувствуется. Этот уклон и есть градиент. А переобучение – это студент, который выучил ответы к билетам, но не предмет. Стоит поменять билеты, и он плывет.

Линейная алгебра: матрицы, тензоры, проекции, SVD и PCA, механизм внимания в языковых моделях.
Математический анализ: производные, градиенты, обратное распространение ошибки.
Теория вероятностей: правдоподобие, кросс-энтропия, распределения.
Особые ниши. Высокочастотный трейдинг держится прежде всего на скорости. Там воюют за микросекунды. Ради них фирмы прокладывали прямое оптоволокно между Чикаго и Нью-Йорком, а потом перешли на микроволновые вышки: сигнал по воздуху идет быстрее, чем по стеклу. Физика в чистом виде, и никаких интегралов. Тяжелая стохастика – уравнения Ито – нужна скорее квант-исследователям для оценки опционов и деривативов. Криптография стоит на абстрактной алгебре, теории чисел и эллиптических кривых.

Математика в IT – не пропуск в профессию, а высота потолка внутри нее. Работать можно и без нее, но выше определенного этажа лестница просто кончается.

– На каких разделах математики стоит сосредоточиться тем, кто планирует идти в IT?

– Эти пять разделов стоит воспринимать не как предметы, а как пять языков. Каждый описывает один и тот же мир со своей стороны.

1. Линейная алгебра – язык пространства. Матрица – это инструкция, как деформировать мир: повернуть, растянуть, отразить, сплющить. На ней стоят графика, обработка сигналов и нейросети. Красивый факт: ранний Google вырос из идеи линейной алгебры. Важность страницы в алгоритме PageRank – это, по сути, собственный вектор гигантской матрицы ссылок. Компания стоимостью в триллионы долларов выросла из главы учебника второго курса.

2. Дискретная математика и графы – язык связей. Посмотрите на схему метро: станции и перегоны, больше ничего. Так же устроены соцсети, интернет, зависимости в коде, маршруты курьеров. Теория графов началась с того, что Эйлер доказал: по семи мостам Кёнигсберга нельзя прогуляться, пройдя каждый ровно один раз. По сути, это был первый в истории разбор неудачного туристического маршрута.

3. Теория вероятностей и статистика – язык сомнения. Интуиция здесь врет чаще всего. Проверьте на себе: в классе из 23 человек вероятность, что у двоих совпадает день рождения, больше 50%. Большинство уверены, что нужно хотя бы 180 человек. Прогноз «70% дождя» – не отговорка синоптика, а честное описание того, что мы знаем. Этот язык учит принимать решения, не дожидаясь полной уверенности, которой никогда не будет.

4. Анализ и оптимизация – язык изменения. Производная – это спидометр: как быстро что-то меняется прямо сейчас. Интеграл – одометр: сколько накопилось за все время. Если проще: производная – ваш пульс, когда вы видите цены на квартиры, а интеграл – ваша ипотека за двадцать лет. Оптимизация – поиск самой низкой точки в долине, будь то ошибка нейросети или расходы компании.

5. Численные методы и машинная арифметика – язык компромисса с железом. Компьютер хранит числа как линейка с конечным числом делений. Число 0,1 в двоичной системе – бесконечная дробь, как 1/3 в десятичной. Поэтому 0.1 + 0.2 в коде дает не ровно 0.3. Кажется мелочью? В 1991 году система ПВО Patriot отсчитывала время шагами по 0,1 секунды. Крошечная ошибка округления за сто часов работы набежала примерно в треть секунды, и ракета не перехватила «Скад». В 1996 году ракета Ariane 5 взорвалась меньше чем через минуту после старта: программа попыталась втиснуть слишком большое число в слишком маленькую ячейку памяти.

Три советских сноски к этой главе.

Инженер Владимир Шухов строил изогнутые ажурные башни целиком из прямых балок. Гиперболоид, как выяснилось, соткан из прямых линий. Это линейная алгебра, отлитая в стали, и она до сих пор стоит на Шаболовке.

Андрей Колмогоров в 1933 году дал теории вероятностей строгие аксиомы. До него вероятность считалась чем-то вроде науки об азартных играх, после – полноправной математикой. Казино не обиделись: им по-прежнему хватает старой версии.

В «Кин-дза-дза» пепелац не летит без гравицапы, крошечной детали за пару чатлов. В численных методах роль гравицапы играет один бит. Ку.

Математика в чистом виде живет в идеальном мире. Программист живет на границе, где идеальная формула встречается с реальным процессором. Пятый язык – пограничный, и именно на границе чаще всего стреляют.

–  Что делать человеку, который считает себя «не математиком» и постоянно не понимает предмет? Можно ли развить математическое мышление или здесь многое зависит от способностей?

– Люди часто путают две фразы: «я не понимаю» и «я не могу понять». Первая описывает закрытую дверь. Вторая – глухую стену. В математике почти всегда речь о двери.

Честно: способности у людей разные. Кто-то быстрее обрабатывает информацию, а у некоторых есть дискалькулия, особенность восприятия чисел. Но способности – это параметр, то есть переменная, которая притворяется константой. У подавляющего большинства потолок гораздо выше того этажа, где они когда-то опустили руки. Барьер чаще сидит не в генах, а в памяти о прошлых неудачах.

История полезна тем, что снимает с гениев глянец.

Ньютон. Рассказывают, что во время чумы в деревне Вулсторп он за пару лет создал всю физику. На деле там появились семена. Идеи созревали около двадцати лет, и «Начала» он написал, лишь когда в 1684 году его подтолкнул Галлей. Озарение – вершина айсберга, под водой годы.

Уайлс. Около семи лет он почти в одиночку работал над Великой теоремой Ферма и в 1993 году объявил о доказательстве. В нем нашли серьезную ошибку. Еще год ушел на то, чтобы вместе с Ричардом Тейлором закрыть брешь.

Эрдёш. Один из самых плодовитых математиков в истории не поверил в решение задачи Монти Холла. Три двери, за одной машина. Вы выбрали дверь, ведущий открыл другую, пустую, и предлагает поменять выбор. Менять выгодно: шанс вырастает с 1/3 до 2/3. Эрдёш сдался, только когда увидел компьютерную симуляцию. Если интуиция подводит гения, вашей тоже можно ошибаться.

Гротендик. Однажды на лекции, когда попросили привести конкретное простое число, он назвал 57. Которое делится на 3 и 19. С тех пор его в шутку называют «простым числом Гротендика». Один из величайших математиков XX века.

Ландау. Великий физик ранжировал коллег по логарифмической шкале, где меньше – лучше. Эйнштейну он поставил 0,5, создателям квантовой механики – единицу, а себе – скромные 2,5. Позже повысил себя до двойки. Даже Ландау считал свой уровень не константой, а величиной, которую можно улучшить. Причем без всяких курсов личностного роста.

Барон Мюнхгаузен в фильме Горина и Захарова предупреждал, что умное лицо – еще не признак ума. Справедливо и обратное: растерянное лицо над задачей – еще не признак глупости. Чаще всего это лицо человека, который как раз начал думать.

Инсайд из квант-мира, который утешает лучше любой мотивации. Хорошая торговая стратегия оказывается права, условно, в 52-55% случаев. Не в 90%, а чуть больше половины. Весь заработок держится на этом маленьком перевесе, повторенном тысячи раз, как у казино. Профессионалы ошибаются почти так же часто, как угадывают. Разница в том, что их это не останавливает.

Венгерский математик Альфред Реньи шутил, что математик – это машина по превращению кофе в теоремы. Заметьте: не таланта в теоремы, а кофе. То есть времени и сидения над задачей.

Талант решает, как быстро вы идете. Упорство решает, дойдете ли вы вообще.

–  Как правильно учить математику, если школьная база уже запущена?

– Школьная математика устроена как длинный сериал. Пропустил третью серию, и к десятой уже непонятно, почему все плачут и кто этот человек в шляпе. Проблема не в десятой серии, а в третьей.

Или так: математика – многоэтажный дом, где каждый этаж опирается на нижний. Нельзя отремонтировать девятый этаж, если провалился третий. Школа часто заставляет подниматься выше, не замечая дыр в перекрытиях. Отсюда ощущение, что с каждым годом становится только страшнее.

Найдите трещину. Если непонятны дифференциальные уравнения, дело почти наверняка не в них, а в производных или в алгебре. Спускайтесь вниз до этажа, где всё кристально ясно, пусть это будет шестой класс. Стыдиться тут нечего: это не шаг назад, а единственный путь вперед.

Инженер Шурик из «Ивана Васильевича» собрал машину времени у себя в квартире, и вышло одно беспокойство. Для восстановления базы машина времени не нужна. Достаточно честно вернуться в шестой класс и не бояться, что вас там увидит управдом.

Идите на двух ногах: интуиция и строгость. Джон фон Нейман как-то сказал молодому коллеге, что математику не понимают, к ней привыкают. Не требуйте от себя выводить каждую формулу с нуля, прежде чем ею пользоваться. Сначала учатся ездить на велосипеде, а физику равновесия понимают потом. Многие не понимают ее вообще и прекрасно ездят.

Ищите структуру, а не формулу. По легенде, маленького Гаусса учитель заставил сложить числа от 1 до 100, надеясь занять класс на час. Гаусс заметил, что 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 дают одно и то же: 101. Таких пар пятьдесят, значит, ответ 5050. Он не считал быстрее других. Он посмотрел на задачу с другой стороны.

Несколько картинок за формулами:

• Производная – наклон касательной, то есть скорость изменения.
• Интеграл – площадь под кривой, накопленное количество.
• Умножение матриц – последовательное применение преобразований: поворот, растяжение, сдвиг, отражение, проекция.
• Поливайте понемногу. Сад растет от ежедневного полива, а не от ведра воды раз в неделю. Ведро вообще скорее смоет рассаду. Сорок минут каждый день дают памяти больше, чем пятичасовой штурм в выходные. Психологи называют это эффектом распределенной практики.

Запущенная база – не диагноз. Это просто карта, на которой отмечено, откуда начинать.

– Какие ошибки чаще всего мешают школьникам и студентам научиться решать математические задачи?

– Иллюзия понимания. Смотреть, как другой плывет, не значит научиться плавать. Ученик застревает, открывает готовое решение и кивает: «Ну конечно, всё понятно». Это как ехать по навигатору: доедешь, но дорогу не запомнишь. А на экзамене навигатор, как назло, отбирают. Навык появляется, только когда вы закрыли учебник и прошли весь путь сами, своей рукой.

Лучшая иллюстрация – новелла «Наваждение» из «Операции Ы». Шурик так увлеченно читает конспект через плечо Лиды, что приходит к ней домой, не заметив ни дороги, ни того, что конспект чужой. Что он из него запомнил, история умалчивает. Листать готовые решения – это ровно такое наваждение: ощущение движения есть, а дорогу потом не повторить.

Работа вслепую. Многие пытаются удержать задачу только в символах, как будто играют в шахматы вслепую. Гроссмейстеры так умеют, но им за это платят. Опытный инженер первым делом рисует: эскиз, график, схему, таблицу. Картинка часто сразу подсказывает ход, который в строчках букв спрятан.

Нет проверки. Плотник отмеряет семь раз не от неуверенности, а от профессионализма. Проверка ответа – единственное место в жизни, где паранойя становится добродетелью. Спросите свой ответ с пристрастием:

• Что будет в крайних случаях, при 0, 1 или очень больших значениях?
• Сходятся ли единицы измерения? Метры не могут равняться секундам.
• Если задача симметрична, симметричен ли ответ?

Единицы кажутся школьной мелочью. В 1999 году NASA потеряла аппарат Mars Climate Orbiter: одна команда считала в фунтах, другая ждала данных в метрической системе. Никто не проверил размерность, и зонд подлетел к Марсу слишком близко.

Инсайд из финансов. В 2012 году компания Knight Capital выкатила на биржу код с ошибкой и примерно за 45 минут потеряла около 440 миллионов долларов. Поэтому в серьезных фондах любую новую стратегию сначала пускают «на бумаге», потом на маленьких деньгах и только потом всерьез. Это та же проверка крайних случаев, только ценой в миллионы.

Есть старая инженерная байка, которую рассказывают про Чарльза Штейнмеца, а в советском фольклоре – про безымянного мастера. Специалиста позвали починить огромную машину, которую никто не мог наладить. Он долго слушал ее, поставил мелом крестик и велел заменить деталь в этом месте. Счет выглядел так: доллар за мел и 9999 долларов за знание, где поставить крестик. Проверка ответа – это и есть умение знать, куда ставить крестик.

Пассивное чтение. Математику нельзя выучить, как историю, просто читая параграфы. Это скорее спорт. Никто еще не накачал пресс, читая книгу о прессе. Хороший ориентир – несколько решенных задач на каждую страницу теории.

Ошибка в черновике – не провал, а разведка. Каждый тупик сообщает что-то новое о том, как устроена задача. Главное – делать ошибки на бумаге, а не на бирже.

–  Есть ли смысл использовать YouTube и другие онлайн-ресурсы для изучения математики? Какие каналы, сайты или приложения вы могли бы посоветовать начинающим?

– Интернет сделал то, о чем ученые прошлого могли только мечтать. То, что раньше годами строили в воображении, сегодня оживает на экране за минуту. Но у этого чуда есть обратная сторона.

Красивое видео о математике – как кулинарное шоу. Смотреть приятно, всё выглядит просто, а на своей кухне почему-то подгорает. Посмотреть 3Blue1Brown и решить, что понял линейную алгебру, – примерно как посмотреть «Формулу-1» и сесть за руль болида. Если после получаса великолепной анимации вы не решили хотя бы пару задач руками, вы получили удовольствие, но не навык.

Чтобы увидеть суть:

• 3Blue1Brown (Грант Сандерсон). Курсы «Суть линейной алгебры» и «Суть математического анализа» превращают формулы в движущиеся картины. Лучший старт для будущих программистов и специалистов по данным.

Чтобы учиться системно:

• Khan Academy – одна из лучших платформ, чтобы шаг за шагом закрыть пробелы от школьной базы до начал анализа.
• Stepik и Coursera – курсы с задачами и автоматической проверкой, на русском и английском.
• Лекции Гилберта Стрэнга по линейной алгебре на MIT OpenCourseWare – университетская классика, объясненная с редкой человечностью.

Чтобы связать математику и код:

• Project Euler – сборник красивых задач. Первые несколько десятков решаются почти в лоб, дальше без математической идеи программа будет считать часами. Отличный способ почувствовать, что формула бывает быстрее процессора.

Инсайд для тех, кто смотрит в сторону квантов.

Собеседования в квант-фонды и трейдинговые компании почти всегда включают задачи на вероятность и сообразительность. Типичный пример: сколько в среднем раз нужно подбросить монету, чтобы два орла выпали подряд? Правильный ответ – шесть, и большинство кандидатов уверенно называют четыре. Готовиться к таким задачам помогают сборники «Heard on the Street» Тимоти Крэка и «A Practical Guide to Quantitative Finance Interviews» Синьфэн Чжоу. Это не учебники, а тренажер для интуиции.

Для критического мышления:

• Книга Аси Казанцевой «В интернете кто-то неправ!» учит читать научные исследования и не верить громким заголовкам. Отличная прививка от статистических фокусов, особенно для тех, кто не собирается становиться математиком.
• Советские сборники «Физики шутят» и «Физики продолжают шутить». Лучшее доказательство того, что строгость и юмор прекрасно уживаются в одной голове.

Чтобы влюбиться в предмет, но не вместо учебника:

• Numberphile, Mathologer, «Маткульт-привет» Алексея Савватеева.

Интернет сделал знания бесплатными. Но не сделал бесплатным усилие, которое превращает знание в умение.

– Куда может привести сильное математическое образование? Какие профессии и направления особенно востребованы для людей с хорошим математическим мышлением?

– Сильная математика – это не ключ от одной двери, а умение быстро разбираться в замках. Но важно не впасть в снобизм. Ключ открывает дверь, а жить в комнате приходится годами. Биология, финансы, серьезная инженерия за пару месяцев не осваиваются. У каждой области свои законы и свои неочевидные ловушки. Математик входит быстрее, но входить все равно приходится со смирением ученика.

Три истории, которые показывают, как это работает.

• Эдвард Торп. Преподаватель математики, который в начале 1960-х вычислил, что в блэкджек можно обыгрывать казино, если считать вышедшие карты. Он проверил это на практике, написал книгу «Обыграй дилера», и казино пришлось менять правила. Вместе с Клодом Шенноном, отцом теории информации, он даже собрал носимый компьютер для предсказания рулетки. Потом Торп перенес те же идеи на биржу и стал одним из первых квантов.
• Джеймс Саймонс. Геометр мирового уровня и бывший криптограф, который основал фонд Renaissance Technologies. Инсайд, над которым Уолл-стрит сначала смеялась: он принципиально нанимал не финансистов, а математиков, физиков, астрономов и специалистов по распознаванию речи. По оценкам журналиста Грегори Цукермана, флагманский фонд Medallion за три десятилетия приносил в среднем около 66% годовых до вычета комиссий. Смеяться перестали.
• Эмануэль Дерман. Физик-теоретик, который ушел в Goldman Sachs и написал книгу «Моя жизнь как кванта». Его главная мысль: финансовые модели – не законы природы, а метафоры. Полезные, но метафоры. Физику, привыкшему к законам Ньютона, это было непросто принять.

Советский след. Петр Капица, работая в Кембридже, прозвал своего шефа Резерфорда Крокодилом. По его словам, крокодил не умеет поворачивать голову назад и потому идет только вперед. Каменный крокодил до сих пор украшает стену Мондовской лаборатории, построенной для Капицы. Неплохой девиз для карьеры: не оглядываться на «я же не математик», а двигаться вперед.

Где такие люди нужны сегодня:

Исследования в машинном обучении и ИИ. Не вызов чужих сервисов, а создание новых архитектур, сжатие моделей, оптимизация механизмов внимания.

• Количественные финансы. Статистические модели рынков, оценка деривативов, управление риском. Здесь математика буквально превращается в цену.
• Исследование операций. Как развезти миллион посылок, сжечь минимум топлива и ни разу не опоздать.
• Биоинформатика. Моделирование молекул, предсказание структуры белков, анализ работы генов. Жизнь, прочитанная как текст и посчитанная как система.
• Криптография. Протоколы с открытым ключом, постквантовая криптография, доказательства с нулевым разглашением. Тайна, которую охраняет не замок, а теорема.

Математика – лучший второй язык для любой профессии. Но на родном языке каждой области все равно придется научиться говорить.

– Насколько математика нужна в профессиях, которые на первый взгляд с ней не связаны?

– Генеративный ИИ берет на себя черновую работу: типовые тексты, шаблонный код, стандартные документы. Человеку остается роль редактора и контролера. А чтобы проверить, прав ли умный помощник, нужно понимать, где он может ошибиться. ИИ отвечает уверенно всегда, даже когда неправ. Совсем как некоторые люди.

Советское кино предупреждало об этом еще в 1979 году. В «Приключениях Электроника» Сыроежкин отдает роботу-двойнику уроки, контрольные и даже спортивные победы. Робот расцветает, а сам Сыроежкин ничему не учится и в итоге чувствует себя лишним в собственной жизни. Сегодня это уже не фантастика, а довольно точная инструкция, как не надо пользоваться ИИ.

Медицина. Представьте тест на редкую болезнь, который ошибается лишь в 1% случаев. Болеет один человек из десяти тысяч. Проверим десять тысяч человек: единственный больной получит положительный результат, но и около ста здоровых тоже, просто из-за этого 1%. Выходит, положительный тест означает болезнь примерно в одном случае из ста, а не в 99 из ста. Психолог Герд Гигеренцер давал похожую задачу практикующим врачам, и правильно отвечало меньшинство. Врач, который этого не чувствует, пугает здоровых людей.

Продукт и маркетинг. Выросли продажи – это эффект новой кнопки или просто хорошая погода? Отличить сигнал от случайности, посчитать юнит-экономику, разобрать поведение когорт стало стандартом профессии. Старая шутка про статистику: человек с головой в духовке и ногами в холодильнике в среднем чувствует себя нормально. Среднее без разброса – одна из самых дорогих ошибок в бизнесе.

Право и управление. Сложный договор похож на программу: условия, исключения, пересечения. Математика приучает замечать, где правила противоречат друг другу, еще до того, как это заметит суд.

Миф о неуязвимости математиков. Математика защищает от статистических фокусов, но не от собственной жадности.

Исаак Ньютон потерял крупную сумму на пузыре Компании Южных морей в 1720 году. Ему приписывают фразу, что он может рассчитать движение небесных тел, но не безумие людей. Скорее всего, это легенда, но очень точная.
Хедж-фонд LTCM, среди руководителей которого были нобелевские лауреаты Мертон и Шоулз, рухнул в 1998 году. Его погубили огромное кредитное плечо, дефолт России и модели, недооценившие редкие катастрофы. Кейнсу приписывают мысль, которую в индустрии знает каждый: рынок может оставаться безумным дольше, чем вы – платежеспособным.
У физиков есть анекдот про сферического коня в вакууме: ученый обещает рассчитать победителя скачек, но только для идеально круглой лошади без трения. Любая модель немного такой конь. Философ Альфред Коржибски говорил: карта – не территория. Математика рисует превосходные карты. Беда начинается, когда человек забывает, что идет не по карте, а по земле.

Хороший урок про прогнозы дает «Москва слезам не верит». Телеоператор Рудольф уверенно объявляет, что скоро не будет ни кино, ни театра, ни книг – одно сплошное телевидение. В деталях он промахнулся, а по духу почти угадал: просто вместо телевизора оказался смартфон. Так работает любая экстраполяция тренда. Направление она угадывает неплохо, а форму будущего – почти никогда.

Математика – мощный инструмент. Но без интеллектуальной скромности он опаснее, чем его отсутствие.

– Если бы вы начинали изучать математику с нуля и хотели построить карьеру в современном мире, на что бы вы сделали основной упор?

– Изучать математику – как учить иностранный язык. Сначала алфавит и грамматика, потом простые фразы, потом свободная речь. Если начать сразу с поэзии, получится зубрежка непонятных строк и твердая уверенность, что язык «не ваш». Я бы шел так.

1. Фундамент. Дискретная математика и начала анализа: функции, пределы, производная. Это алфавит.

2. Пространство и изменение. Многомерный анализ и линейная алгебра: векторы, матрицы, преобразования. Это грамматика.

3. Неопределенность. Теория вероятностей и статистика, уже на базе интегралов и матриц. Это умение говорить о том, чего не знаешь наверняка.

4. Практика. Численные методы, оптимизация и постоянная работа с кодом на Python и NumPy. Это живая речь.

Порядок важен. Серьезную теорию вероятностей нельзя понять раньше анализа. Без двойных интегралов не понять непрерывные распределения, а без линейной алгебры – ковариационные матрицы. Это как читать роман, не зная половины букв: сюжет вроде есть, но почему-то все время про «ж_раф_в».

Код с первого дня. Код для математики – то же, что разговорная практика для языка. Прошли метод наименьших квадратов или градиентный спуск – сразу напишите его в пятнадцать строк на Python, постройте график и посмотрите, как точки сходятся к ответу. Формула оживает, когда ее видно в движении. Низкоуровневую оптимизацию на C++ или видеокартах лучше оставить на потом: это отдельное ремесло.

Инсайд из квант-индустрии: любая закономерность затухает. Стратегия, которая приносит деньги, похожа на маятник в вязкой среде. Когда о закономерности узнают другие, они начинают на ней зарабатывать, и она исчезает. В индустрии это называют распадом альфы. Поэтому ценится не одна гениальная формула, а умение раз за разом находить новые. А еще в индустрии честно шутят, что работа кванта на 80% состоит из чистки данных и на 20% из жалоб на чистку данных. Математика – это не только красивые идеи, но и терпение к грязной реальности.

И последнее, про мотивацию. Сотрудники НИИЧАВО у Стругацких приходили в институт даже в новогоднюю ночь, потому что им было интересно. Никакой дедлайн так не работает. Лучший двигатель обучения – не страх перед экзаменом, а момент, когда понедельник действительно начинается в субботу.

Главное – вопрос, а не счет. Компьютер берет производные и перемножает матрицы быстрее любого человека. Но он не знает, какой вопрос задать. Настоящая ценность человека в XXI веке – быть переводчиком: взять живую, запутанную проблему и перевести ее на строгий язык целей, параметров и ограничений. А потом честно спросить, где кончаются границы этой модели.

Галилей писал, что книга природы написана на языке математики. Сегодня эту книгу быстрее всех читают машины. Но решать, какую страницу открыть, по-прежнему нам.

Математика помогает не только в карьере, но и в бытовых вещах. Ранее Youth.kz говорил с Натаниэлем Бродецким о том, как использовать точную науку в романтической переписке.